Algebra og gruppeteori.I dag er det klart for historiens sjette Abelpris-seremoni i Universitetets Aula i Oslo. Årets prisvinnere er John Griggs Thompson fra USA og Jacques Tits fra Frankrike. De tildeles Abelprisen "for deres fremragende prestasjoner innenfor algebra, og særlig for utformingen av moderne gruppeteori".Abelprisen, og kanskje spesielt årets pris som går til gruppeteoretikere, gir en gyllen mulighet til å skrive litt om hva matematikk er og hvordan faget kan anvendes. Norge har lange og gode tradisjoner innen gruppeteori. Det er en fundamental teori innen moderne algebra. Blant gruppe-
teoriens pionérer finner vi Niels Henrik Abel, Sophus Lie og Ludwig Sylow.

Matematikkens utvikling.

I en artikkel i Aftenposten i 1896 pekte Sophus Lie på den rollen Sylow hadde spilt for matematikkens utvikling. Han siterte blant annet en av datidens store matematikere, Georg Frobenius: "Enhver Kjender af Gruppe-theorien, der mere og mere tenderer til at blive Midtpunktet i vore Dages mathematiske Udvikling, betragter det Arbeide, Sylow publicerte i 1872 som Grundlaget for hele Læren om endelige Grupper". Det er videreutviklingen av dette byggverket som nå blir tildelt Abelprisen for 2008.Ordet algebra stammer fra det arabiske al-jabr som betyr "å sette sammen". Litt forenklet kan vi si at algebra handler om å regne med symboler. Dette er en ferdighet som er viktig å ha for alle som bruker matematikk.Norsk matematikkråds undersøkelser viser imidlertid at førsteårsstudentene ved universiteter og høyskoler blir svakere og svakere i algebra for hvert år. PISA-undersøkelsene av 15-åringers matematikkunnskaper viser likeledes at norske elever gjør det spesielt svakt innen algebra.

Viktig for utviklingen.

I 2008 kan det være grunn til å slå et slag for algebra og understreke at matematisk kompetanse spiller en viktig rolle i utviklingen av dagens samfunn. Denne forståelsen la stortingsmann og senere statsminister Gunnar Knudsen for dagen da han i 1894 talte for at Stortinget skulle bevilge den store matematikeren Sophus Lie et personlig tillegg over statsbudsjettet:"Det er naturligvis vanskelig å kunne påvise i kroner og øre, hva vitenskapen kan skjenke et lands innvånere av fordeler, men når jeg peker på at matematikken er en av de viktigste grunnpiller for den tekniske dannelse, for teknisk undervisning og teknisk utvikling i et land, så tror jeg dog det må kunne sies, at det kan være håp om at professor Lie ved sin matematikk vil kunne bidra til at man vil kunne leve et lettere liv her i landet," sa han.Det var fremtidsrettede ord, for det er ikke slik at all forskning umiddelbart kan omsettes i nytte. For eksempel har mye av teoriene Lie utviklet fått bred anvendelse i fysikken, men først i de senere tiår. Slik er det ofte med grunnforskning.

Teori om symmetri.

Gruppeteori er teorien om symmetrier, og denne teorien har etter hvert funnet mange anvendelser. For eksempel brukes den i dag til beskyttelse av graderte meldinger og PIN-koder. Innen realfag har teorien om symmetrier sine naturlige anvendelser, til å studere fysiske lover og partikler, og til å utvikle og studere kjemiske stoffer. I biologien er symmetri en viktig indikator for en arts sjanse til å overleve. Vi kan også gå den andre veien, det vil si fra problem til matematisk teori. I radioens spede barndom var det for eksempel problemer med å fjerne bakgrunnsstøy og forvrengninger av lyd. Disse problemene førte til nyvinninger innen gruppeteori, nyvinninger som senere er benyttet til å dekode bilder som romfartøy sender fra verdensrommet.

Angår oss alle.

Symmetri er noe alle har et forhold til, og vi trenger ikke kunnskap om gruppeteori for å nyte symmetrier i naturen eller i kunsten, tenk for eksempel på en sommerfugl, et kaleidoskop eller et vevd teppe. Det er nærliggende å sammenligne det forholdet vi har til symmetri med at man ikke trenger å kunne harmonilære for å nyte et musikkstykke.Den som skal gå dypere inn i materien, trenger imidlertid et "språk" og en teori som gir mulighet til å beskrive og behandle fenomenene. Teorier abstraherer virkeligheten, og matematikere utvikler matematiske objekter for å kunne uttrykke presise matematiske sammenhenger.

Matematiske byggverk.

Innenfor matematikken er det mange objekter som kan beskrives på samme måte og som oppfører seg "likt". På samme måte som vi kan sette sammen to tall ved å addere dem, og dermed få et nytt tall, kan vi sette sammen to symmetrier og få en ny symmetri. Tar vi et kvadrat og speiler det om en vertikal akse og deretter om en horisontal akse, får vi en 180 graders rotasjon av kvadratet. Vi kan altså sette sammen to speilsymmetrier og få en ny rotasjonssymmetri. Dette gir oss matematiske byggverk som vi gjerne kaller strukturer. En gruppe er en slik struktur, og i en endelig gruppe er det endelig mange elementer.For eksempel danner symmetriene av et kvadrat en gruppe med åtte elementer: Fire rotasjoner (på 0, 90, 180 eller 270 grader) og fire speilinger (om en horisontal eller vertikal akse eller om en av diagonalene). Matematikere ønsker en oversikt over alle matematiske strukturer som finnes, det vil si en klassifisering tilsvarende klassifiseringer av alle dyre- og plantearter.

Matematikkens Apollo-program.

Innenfor teorien for endelige grupper har man klart å klassifisere alle teoriens byggesteiner. Disse steinene kalles endelige simple grupper. Klassifiseringen av endelige simple grupper har vært matematikkens "Apollo-program".Arbeidet tok over 50 år og har involvert mer enn 100 matematikere. Klassifiseringen sier at det finnes fire familier med uendelig mange simple grupper i hver, og i tillegg 26 enkeltstående grupper.Thompson og Tits er blant dem som har videreført arven etter Abel, Lie og Sylow, og gjennom dyp innsikt og banebrytende resultater har de lagt til rette for videre matematisk forskning. Nå er klassifiseringen gjort, men fortsatt gjenstår det å se hva fremtidens matematikere kan benytte resultatene til. Og da vil vi også se hva slags praktisk nytte arbeidet viser seg å ha.

Et Abel-program?

Norge har altså stolte tradisjoner innen gruppeteori, og for å sikre nyrekruttering må dagens elever få en utdannelse som gjør dem i stand til å behandle symboler og strukturer: de må bli flinke i algebra. Kanskje det kan være vårt "Abel-program"? Samfunnet vil alltid trenge matematiske ideer, teorier og resultater for utvikling og forbedring. Det er nysgjerrighet og evnen til å løse problemer som har brakt oss dit vi er i dag. Matematikkfaget må fortsatt dyrke frem nysgjerrighet og interesse forankret i solid, faglig trygghet.