Kronikk

Abelprisen 2022: De fleste problemer ligner på andre problemer. En smultring kan hjelpe oss å løse floken.

  • Jo Røislien
    Jo Røislien
    Vitenskapsformidler og professor i medisinsk statistikk, Universitetet i Stavanger
En smultring har ett hull. Det har en kaffekopp også: hanken. Det å klassifisere objekter basert på grunnleggende geometriske egenskaper er nyttig når man skal løse kompliserte problemer, forklarer Jo Røislien.

Dennis Sullivan jobber med matematikk som ikke ser forskjell på en smultring og en kaffekopp. I år er han tildelt Abelprisen.

Kronikk
Dette er en kronikk. Meninger i teksten står for skribentens regning.

En trekant er ikke en firkant, og ingen av dem er rundinger. Det lærer vi på barneskolen. Men det er ikke alltid sant. Det avhenger av hvilke øyne man ser med.

Om noen spør deg om veien, og du svarer «ta til høyre i det første krysset, og så til venstre når veien deler seg», så holder du tilbake detaljer. Du har ikke fortalt hvor langt det er til det første krysset, eller om det er en sving før veien deler seg. Du har redusert svaret ditt til den geometriske essensen av problemet.

Gummigeometri

Geometri handler om form. Det er lengder og høyder og vinkler. Detaljene er viktige. Men alt er ikke alltid like viktig. Topologi er en kvalitativ tilnærming til geometri, der man skreller vekk unødvendige detaljer. Nøkkelordet er strikk.

Av den samme gummistrikken kan man lage en sirkel og en ellipse. En trekant og en firkant også. En sirkel, en ellipse, en trekant og en firkant kan sånn sett ses på som det samme. Topologi kalles derfor ofte gummigeometri. Tilnærmingen har flere hverdagslige paralleller.

«Mind the gap»

Tuben i London frakter over en milliard mennesker i året. Da den tekniske tegneren Harry Beck utviklet det ikoniske tubekartet i 1933, lot han seg inspirere av elektroniske kretser og ga blaffen i geografisk presisjon. Det viktige er hvilken stasjon som er den neste – ikke nøyaktige avstander eller om det kommer en sving eller to.

Sentralt i tubekartet er tomrommet som ligger mellom linjene. Hullene i kartet. Topologien elsker hull.

Sentralt i tubekartet er tomrommet som ligger mellom linjene. Hullene i kartet. Topologien elsker hull, skriver Jo Røislien.

En smultring har ett hull. Det har en kaffekopp også: hanken. I topologi er det dermed ingen forskjell på en smultring og en kaffekopp. En tallerken og en vase er også det samme: Null hull.

Skrivebordet mitt har null hull og er dermed en tallerken. Mens jeg har ett hull tvers igjennom og er en smultring.

Det å klassifisere objekter basert på grunnleggende geometriske egenskaper er nyttig når man skal løse kompliserte problemer. Det handler om å kikke bakom gipsveggen og tapetet og avsløre selve reisverket. Da vil man gjerne finne likheter der man ellers ser forskjeller.

Glade jul

Hver jul henger vi opp en lyslenke med stjerner i stuevinduet. En ledning henges øverst, og ned fra denne dingler rekker med lysende stjerner. Det er min jobb å henge opp lyslenken. Det er en drittjobb.

Hvert år pakker jeg lysdekorasjonen forsiktig ned i en pose. Og hver jul plukker jeg opp igjen et kaos av ledninger og stjerner viklet inn i hverandre. Det er et strev å nøste det hele fra hverandre.

Men jeg vet jo at det går an. Lyslenken er bare mange rette snorer koblet sammen. Som et tubekart. Eller en tallerken: null hull. Det er bare å nøste i vei til floken er løst, og lenken kan henges opp.

Med ukjente problemer er det verre.

Matematiker Dennis Parnell Sullivan.

Abstrakte nøster

En ledningsfloke kan du forsøke å løse med hendene. Det går ikke med et stort datasett med tall du ønsker å finne ut hvordan henger sammen. Det kan være molekylstrukturen til komplekse kjemiske forbindelser eller vennestrukturer på sosiale medier. Intrikate informasjonsnøster viklet inn i hverandre.

Blir det en knute om vi forsøker å nøste det opp, eller blir det et enkelt og oversiktlig system?

På overflaten virker alle problemer unike. Men de fleste problemer ligner på andre problemer, og ved å se bort fra unødvendige detaljer kan topologien avdekke tilsynelatende ulike problemer som i bunn og grunn er like.

Ved å se bort fra unødvendige detaljer kan topologien avdekke tilsynelatende ulike problemer som i bunn og grunn er like

Vi samler inn svimlende mengder med data. Digitale bilder, lister med priser, endeløse rekker med tall. Og jo mer data vi har, jo vanskeligere er det å visualisere dem på en meningsfull måte.

Et av hjelpemidlene vi har, er et av topologiens viktigste objekter: mangfoldigheter. Mangfoldigheter ligner på vanlige, flate gulv på nært hold, men kan se annerledes ut langt fra. Jordkloden og en smultring er mangfoldigheter, men ikke en kube eller en spiss fjelltopp.

Klarer vi å spore tallene i et datasett tilbake til en mangfoldighet, kan vi skille dem i ulike deler, som så kan visualiseres med mønstre og fargekoder.

Det å klassifisere mangfoldigheter er viktig. Det er enkelt i én og to dimensjoner, men vanskelig i tre. I fire dimensjoner er oppgaven full av mysterier. Fra fem dimensjoner og oppover blir det enklere igjen. Da får man litt mer rom – mer armslag – og vi kan bruke topologisk kirurgi for å lage nye geometriske objekter det er lettere å håndtere.

Å gå seg vill

I jakten på hvordan ting henger sammen, er det lett å gå seg vill. Derfor er mange fag glade i matematikk. Matematikken er opptatt av grunnleggende egenskaper og strukturer i seg selv – ikke hva det skal brukes til. Derfor har de matematiske resultatene generell gyldighet og kan benyttes av alle fag som bruker matematikk. Og det er mange.

Amerikanske Dennis Sullivan tildeles Abelprisen 2022 «for sitt banebrytende bidrag til topologien i bred forstand». Hans tidlige arbeider var i klassifisering av mangfoldigheter og topologisk kirurgi, og han har bidratt til et fullstendig bilde av mangfoldigheter i fem dimensjoner og oppover.

Det kan høres virkelighetsfjernt ut. Men så er det ikke det allikevel. Topologi har vist seg å være en utmerket tankemåte med viktige anvendelser innen fysikk, kjemi, økonomi og datavitenskap.

Det er mange som har glede av å få en titt under overflaten.


  • Følg debattene hos Aftenposten meninger på Facebook og Twitter.

Les mer om

  1. Matematikk